Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружн...

 Очень кондовое решение   Пусть [latex] AB=a \\ BC=b \\ AC=c \\ c=30*sinB\\ a=30*sin(A+B) \\ b=30*sinA \\ [/latex] Последнее через теореме синусов   Тогда , из условию следует что  [latex]sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA [/latex]   Это следствие из формулы [latex] S=pr\\ S=\frac{abc}{4R}[/latex]      Теперь , положим что [latex] \angle A= \angle B \\ [/latex] Из выше описанной формулы следует что   [latex] A=B=2arctg( \sqrt{\frac{5-\sqrt{12}}{13}} )\\ [/latex]   [latex] b=c=5\sqrt{24-6\sqrt{3}} \\ a=10\sqrt{5+2\sqrt{3}} [/latex]       Впишем наш контр пример , в координатную систему [latex] OXY[/latex]     [latex] A(0;0) \\ B(10\sqrt{5+2\sqrt{3}};0)[/latex]    Тогда центры меньших треугольников будут равны  [latex] O_{A} \ (r \sqrt{5+\sqrt{12}} ; r) \\ O _{B} \ ((\sqr{5+\sqrt{12 })*(10-r) ; r) [/latex]  [latex]O_{N} \ (5 \sqrt{5+\sqrt{12}} ; y) \\ O_{C} \ (5\sqrt{5+\sqrt{12}} ; y+2r) [/latex]   Найдем координату [latex] y[/latex]     Его можно найти     Из уравнения   [latex] (x-r\sqrt{5+\sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \\ ( (x - \sqrt{5+\sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2 [/latex]             Найдя его , затем учитывая что   [latex] d( O_{A}O_{N}) = 4r^2[/latex]           Найдем что [latex] r=3[/latex]                                         Но задача , видимо решается через так  называемую                       ГОМОТЕТИЮ