Дана функция f(x)=x^2-2lnx+31)Найти f(e^1/2)2)Найти интервал возрастания функции f(x)3)Найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках4)Решить уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x

Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3 1)Найти f(e^1/2) 2)Найти интервал возрастания функции f(x) 3)Найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках 4)Решить уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x Решение: 1) f(e^1/2) =((e^(1/2))^2 - 2*ln(e^(1/2)) + 3=e-2*(1/2)*ln(e) + 3 = e - 1 + 3 = e + 2 ≈ 4,72 2) Интервал возрастания функции f(x) Функция определена для всех х принадлежащих (0;+бесконечность) Найдем производную функции f'(x)= (x^2-2lnx+3)' = 2x-2*(1/x) = 2x-2/x =2(x^2-1)/x 2(x^2-1)/x >0  Так как х>0 то необходимо найти  {x^2-1>0  {x>0  или  {(x-1)(x+1)>0  {x>0  По методом интервалов  находим знаки производной                 -  0   +        ------!----!--------              0    1   Функция возрастает при всех значения  х принадлежащих промежутку (1;+ бесконечность)  3)Точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках  Производная меняет знак в точке х=1 с минуса(убывание) на плюс(возрастание)  Поэтому в этой точке функция f(x) имеет минимум  f(1)min = 1^2-2ln(1)+3 =1-2*0+3 =4 4)Решим уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x               f(x)=g(x)    x^2-2ln(x)+3 = x^2+ln^2(x)    ln^2(x)+2ln(x) -3=0    Замена переменных      y = ln(x)      y^2+2y+3=0      D =4 +4*3 = 16      y1 = (-2-4)/2 =-3      y2 = (-2+4)/2 =1      Находим значения х  При y1 = -3  ln(x) =-3  x1 = e^(-3)  При y2=1  ln(x)=1  x2 = e

[latex]1) f(e^{ \frac{1}{2} })=e-1+3=e+2[/latex] [latex]2) f^'x=2x- \frac{2}{x} =0;x=1[/latex] (0;1) - убывает;(1;+беск) - возрастает 3) x=1 точка min; f(1)=4 4) [latex] x^{2} -2lnx+3= x^{2} + ln^{2} x[/latex] lnx=t [latex]-2t+3= t^{2} [/latex] [latex] t^{2} +2t-3=0[/latex] [latex] t_{1,2}= \frac{-2+-4}{2}=1;-3 [/latex] [latex]lnx=1;x_1=e[/latex] [latex]lnx=-3; x_2= \frac{1}{e^3} [/latex]