Дана функция у = 0,5х в 4 степени - 4х в квадрате. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]

у = 0,5х⁴ - 4х² у' = 2х³ - 8х Найдём точки, где у'  = 0 2х³ - 8х = 0 2х·(х² - 4) = 0 х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2 1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах ----------- -2 --------------0--------------- 2 ---------- у'(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30   у' < 0,  у убывает у'(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6   у' > 0,  у возрастает у'(1) = 2·1 - 8·1 = -6   у' < 0,  у убывает у'(3) = 2·27 - 8·3 = 30   у' > 0,  у возрастает Итак, промежутки возрастания и убываня функции: Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞) Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]   2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции. В точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума В точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума В точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8 y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8 y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0   3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3] На концах интервала функция принимает значения: у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5 у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5 В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум y max = y(0) = 0 и один локальный минимум y min = y(2) =  -8 Сравнивая все четыре значения функции, видим, что у наиб = у(3) = 4,5 у наим = y(2) =  -8