Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. Из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если AO = 50 MN = 48 и известно что AM мен...

Пусть R - радиус. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Следовательно, соединив точки А, М, О и А, О, N получим два равных прямоугольных треугольника АМО и АNО, поскольку ОМ=ОN=R, а сторона ОА - общая, а сами треугольники прямоугольные. В таком случае МN в точке пересечения (обозначим ее Р) с АО делится пополам. То есть МР= NР= 48/2=24 К тому же отрезок АО перпендикулярен отрезку МN. Рассмотрим треугольник АМО. 1) ОМ=R, АО =50, высота МР=24 По теореме Пифагора АО² = ОМ² + АМ² Следовательно, 50² = R² + АМ², АМ² = 50² - R² 2) Высота МР делит АО на два отрезка ОР и АР ОР² = ОМ² - МР², то есть ОР² = R² - 24² И АР² = АМ² - МР², или (АО - ОР)² = АМ² - МР², то есть [50 - √(R² - 24²)]² = АМ² - 24² Отсюда АМ² = [50 - √(R² - 24²)] + 24² 3) Поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части: 50² - R² = [50 - √(R² - 24²)]² + 24² 50² - R² = 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² -50² + R² + 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² = 0 2R² - 2•50•√(R² - 24²) = 0 R² - 50•√(R² - 24²) = 0 R² = 50•√(R² - 24²) R²/50 = √(R² - 24²) (R²/50)² = [√(R² - 24²)]² (R²)²/2500 = R² - 24² (R²)² = 2500R² - 2500•576 (R²)² - 2500R² + 1440000 = 0 Дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 = = 6250000 - 5760000 = 490000 Первый корень уравнения: R² = (2500 + √490000)/2= = (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600 Следовательно, R=√1600 = 40 Второй корень уравнения: R² = (2500 - √490000)/2 = = (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900 Следовательно, R=√900 = 30 4) Поскольку по условию АМ<ОМ, иначе говоря, АМ