Дана правильная пирамида SABC, у которой сторона основания AB = 6, а боковое ребро SA = 12. Сечение пирамиды, параллельное рёбрам AC и SB, является квадратом. Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания ...

Вершина квадрата,лежащая на ребре SC, равно удалена от рёбер SA (также и SB) и ВС, поэтому она лежит на биссектрисе угла CBS. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам. 6 : 12 = 1 :2. Поэтому сторона SC разделится на 3 части: 1 часть ближе к стороне СВ -это (12/3)*1= 4. Это и есть длина стороны квадрата. Теперь переходим к диагонали этого квадрата. Один конец её находится на боковом ребре на расстоянии 1/3 его длины. Значит, и по высоте будет находиться на 1/3 высоты пирамиды. Вершина правильной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан треугольника основания - это 2/3 высоты основания, считая от вершины. Высота основания h = 6*cos 30 = 6*(√3/2) = 3√3. 2/3 части её равны 3√3*2 / 3 = 2√3. Отсюда высота пирамиды H = √(12²-(2√3)²) = √(144-12) = √132 =  =2√33 = 11,4891. Третья часть составит 2√3 / 3 =  3,82971. Боковая сторона проекции квадрата на основание равна:  (2/2) / cos 30 = 1 /(√3/2) = 2 / √3 =  1,1547. Проекция диагонали равна √(4²+ 1.1547²) = √16+ 1,33333) = = √17,3333 =  4,16333. Тангенс угла наклона диагонали квадрата полученного сечения к основанию равен  3,82971 / 4,16333 =  0.91987. Угол равен arc tg  0.91987 =  0.74368 радиан = 42.6099 градуса.