Дана прямая, параллельная некоторой плоскости. Докажите что через любую точку этой плоскости проходит прямая параллельная данной прямой.

Пусть дана прямая l и плоскость a, они параллельны. Выберем произвольную точку A, принадлежащую a. Проведём плоскость b через точку A и прямую l - известно, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести ровно одну плоскость. Плоскости a и b имеют общую точку A, но не совпадают. Значит, они пересекаются по какой-то прямой m. Прямая m не пересекается с прямой l, так как лежит в плоскости, параллельной l. Кроме того, прямые m и l лежат в одной плоскости b. Таким образом, эти прямые параллельны. То есть, для любой точки из a можно построить требуемую прямую, что и требовалось доказать.