Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD . На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q – середина стороны...

a) очень легко - OH II CD, потому что составляют равные углы с AD, так как трапеция равнобедренная по условию, а треугольник AOH равнобедренный, OA = OH = R; - радиус построенной окружности. Понятно, что и OQ II AD, как средняя линия. Теперь еще обозначения. K - точка касания окружности с CD, OK = R, разумеется. Далее, ∠BAD = α = 75°; ясно, что ∠OHA = ∠CDA = ∠CQO = α; Основания я обозначу, как AD = a; BC = b = 1; Кроме того, пусть прямая BN II CD, и точка N лежит на AD. б) Ясно, что DN = b; кроме того, HN = AH, так как OH II BN и AO = OB; AH = 2Rcos(α); AD = AH + HN + ND a = b + 4Rcos(α); Из треугольника OKQ OQ*sin(α) = R; но OQ - средняя линия трапеции (a + b)*sin(α)/2 = R; Окончательно a = b + (a + b)*sin(2α); a = b*(1 + sin(2α))/(1 - sin(2α)); Это - решение в общем виде. Теперь, если подставить b = 1; sin(2α) = sin(150°) = 1/2; получится AD = 3