Дано: sin x - sin y = m ; cos x+cos y = n найти: sin (x-y) =? и cos(x-y)=?

Дано: sinx-siny=m; cosx+cosy=n. Найти: sin(x-y) и cos(x-y). Решение: 1. Воспользуемся формулами разность синусов и сумма косинусов: [latex]sinx-siny=2sin \frac{x-y}{2}cos \frac{x+y}{2}=m; cosx+cosy=2cos \frac{x+y}{2}cos \frac{x-y}{2}=n.[/latex] Заметим, что оба равенства содержат один и тот же член: [latex]cos \frac{x+y}{2}[/latex]. Выразим его из обоих равенств: [latex]cos \frac{x+y}{2}= \frac{m}{2sin \frac{x-y}{2}};cos \frac{x+y}{2}= \frac{n}{2cos \frac{x-y}{2}}.[/latex] В получившихся равенствах левые части равны, значит, равны и правые части: [latex] \frac{m}{2sin \frac{x-y}{2}}= \frac{n}{2cos \frac{x-y}{2}}[/latex]. Преобразуем данное равенство: [latex] \frac{2sin \frac{x-y}{2}}{2cos \frac{x-y}{2}}= \frac{m}{n};[/latex] [latex] \frac{sin \frac{x-y}{2}}{cos \frac{x-y}{2}}= \frac{m}{n};[/latex] [latex]( \frac{sin \frac{x-y}{2}}{cos \frac{x-y}{2}})^{2}=( \frac{m}{n})^{2};[/latex] [latex] \frac{sin^{2} \frac{x-y}{2}}{cos^{2} \frac{x-y}{2}}= \frac{m^{2}}{n^{2}};[/latex] Теперь используем формулы понижения степени синуса и косинуса: [latex] \frac{1-cos(x-y)}{2}: \frac{1+cos(x-y)}{2}= \frac{m^{2}}{n^{2}};[/latex] Преобразуем данное равенство: [latex] \frac{1-cos(x-y)}{1+cos(x-y)}= \frac{m^{2}}{n^{2}};[/latex] n²(1-cos(x-y))=m²(1+cos(x-y)); n²-n²cos(x-y)=m²+m²cos(x-y); m²cos(x-y)+n²cos(x-y)=n²-m²; cos(x-y)(m²+n²)=n²-m²; [latex]cos(x-y)= \frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}}.[/latex] Используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin(x-y): [latex]sin(x-y)= \sqrt{1-( \frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}})^{2}}.[/latex] Ответ: [latex]sin(x-y)= \sqrt{1-( \frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}})^{2}};cos(x-y)= \frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}}.[/latex]