Дано:㏒125 по основанию 4=а Найти:lg64

Используемые свойства: 1) [latex]log_{a}b^{c}=c*log_{a}b[/latex] 2) [latex]log_{a^{c}}b= \frac{1}{c} log_{a}b[/latex] 3) [latex]log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c[/latex] 4) [latex]log_{a}b= \frac{1}{log_{b}a} [/latex] ________________________________________ [latex] log_{4}125=a[/latex] [latex] log_{2^{2}}5^{3}=a[/latex] [latex] \frac{3}{2} log_{2}5=a[/latex] [latex] log_{2}5=\frac{2a}{3} [/latex] [latex]lg64=log_{10}64=log_{10}2^{6}=6log_{10}2= \frac{6}{log_{2}10} =\frac{6}{1+log_{2}5} =[/latex] [latex] \frac{6}{1+ \frac{2a}{3} } = \frac{6}{\frac{2a+3}{3} }=\frac{18}{2a+3}[/latex]

[latex]log_4125=a[/latex] Представим основание и показатель логарифма в степенях: [latex]log_4125=log_{2^2}5^3[/latex]. Недолго вспоминаем свойства логарифмов, и перед тобою сейчас 3 из них:  [latex]log_{a^p}x=\frac{1}{p}log_ax;\\log_ax^p=p*log_ax;\\log_xy=\frac{1}{log_yx}[/latex].  [latex]log_{2^2}5^3=\frac{1}{2}log_25^3=\frac{1}{2}*3*log_25=\frac{3}{2}*log_25[/latex] Ещё не забыл, что всё это выражение равно α? Так вот и пишем:  [latex]\frac{3}{2}*log_25=a[/latex], тогда, следовательно,  [latex]log_25=a:\frac{3}{2}=a*\frac{2}{3}=\frac{2a}{3}[/latex].  Разбираемся со вторым логарифмом, но для начала вспомним о том, что такое десятичный логарифм: [latex]lgx=log_{10}x[/latex]. На примере, думаю, всё наглядно понятно. Едем. [latex]lg64=log_{10}64[/latex]. Шестьдесят четыре – это два в шестой степени, посему имеем право записать:  [latex]log_{10}64=log_{10}2^6[/latex]. Но и не забываем про свойства, описанные немного ранее:  [latex]log_{10}2^6=6log_{10}2[/latex]. Надеюсь, ты ещё помнишь третье свойство, которое я написал в самом начале? Тогда поехали:  [latex]6log_{10}2=\frac{6}{log_210}=\frac{6}{log_2(2*5)}=\frac{6}{log_22+log_25}=\frac{6}{1+log_25}[/latex].  [latex]log_25[/latex]... кажется, где-то он есть в решении, да причём и равен [latex]\frac{2a}{3}[/latex]! Подставляем в слагаемое, находящееся в знаменателе дроби, сокращаем, перемножаем, складываем – считаем, короче.  [latex]\frac{6}{1+log_25}=\frac{6}{1+\frac{2a}{3}}=\frac{6}{\frac{3}{3}+\frac{2a}{3}}=\frac{6}{\frac{3+2a}{3}}=6*\frac{3}{3+2a}=\frac{18}{3+2a}[/latex] Ответ: [latex]lg64=\frac{18}{3+2a}[/latex], если [latex]log_4125=a[/latex].