Даны точки М(1; 3), N(7; 5), К(5; -1). Найдите координаты векторов МN, NК, МK, и их модули. Установите вид треугольника МNК.

Каждая координата вектора определяется разностью соответствующих координат его конца и начала [latex]\vec{AB}= (x_B-x_A;y_B-y_A)[/latex] [latex]\vec {MN}=(7-1;5-3)=(6;2) \\\ \vec {NK}=(5-7;-1-5)=(-2;-6) \\\ \vec {MK}=(5-1;-1-3)=(4;-4)[/latex] Модуль вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат [latex]\vec{AB}= \sqrt{x^2+y^2}[/latex] [latex]|\vec {MN}|= \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40} =2 \sqrt{10} \\\ |\vec {NK}|= \sqrt{(-2)^2+(-6)^2}= \sqrt{40}=2 \sqrt{10} \\\ |\vec {MK}|= \sqrt{4^2+(-4)^2}= \sqrt{32} =4 \sqrt{2} [/latex] Так как длины двух сторон треугольника равны, то есть он равнобедренный, то в любом случае углы при его основании будут острыми. Найдем угол, противолежащий основанию, и по его величине определим вид треугольника [latex]\cos \alpha = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{ \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} [/latex] Находить угол N будем как угол между двумя векторами: NK (известен) и NM (противоположный вектору MN, следовательно имеющий противоположные координаты) [latex]\cos N= \frac{(-6)\cdot(-2)-2\cdot(-6)}{ \sqrt{(-6)^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(-6)^2}} = \frac{24}{ 40} >0[/latex] Так как косинус угла положителен, то сам угол острый. Значит в треугольнике все три угла острых и поэтому он является остроугольным