Даны треугольников DEF и D1E1F1, точка М и М1 лежат соответственно на сторон DF и D1F1, причем DM=3MF и D1M1=3M1F, DE=D1E1, ЕМ=Е1М1 и угол DEM= углуD1E1M1.докажите, что EF=E1F1

Треугольники DEM и D₁E₁M₁ равные, т.к. по условию они имеют равные стороны (DE=D₁E₁, EM=E₁M₁) и равные углы между этими сторонами: ∠DEM=∠D₁E₁M₁. Значит, отрезки DM и D₁M₁ равны, потому что являются третьми сторонами равных треугольников. Также ∠DME = ∠D₁M₁E₁, как соответствующие углы равных треугольников. Угол FME является дополнительным углом к углу DME. Угол F₁M₁E₁ является дополнительным углом к углу D₁M₁E₁. Дополнительные углы к равным углам равны.  Отрезки MF и M₁F₁ в три раза меньше равных друг другу отрезков DM и D₁M₁, т.е. тоже являются равными. Итак, в треугольниках EMF и E₁M₁F₁ имеются равные стороны (EM=E₁M₁, MF=M₁F₁) и угол между ними (∠FME=∠F₁M₁E₁). Следовательно, эти треугольники равны. А значит, равны и стороны EF и E₁F₁. Чтд.