Даю 50 баллов за грамотное решение. Помогите пожалуйста! 8 класс. В трапеции ABCD основание AB в три раза больше основания CD. На основании CD взята точка M так, что MC=2MD. N - точка пересечения прямых BM и AC. Найдите отноше...

Обозначаем  S(CNM) = S , MD = m .   ⇒ MC = 2*MD =2m  и  CD =MD + MC =m +2m =3m ,  AB =3*CD =3*3m=9m. Очевидно:   ΔANB  ~ ΔCNM  , причем  коэффициент подобия   k =AB/ CM =9m/2m =9/2 ΔANB  ~ ΔCNM ⇒ h₁/ h =k ⇒  h₁=k*h = 9h/2.  Высота трапеции  ABCD равна :  H = h+h₁=h +9h/2 =11h/2 . S(CNM) =CM*h/2 =2m*h/2 =m*h ; S(ABCD) =(AB +CD)/2 *H =(9m+3m)/2 * 11h/2 = 33m*h ; S(CNM)  /  S(ABCD) =m*h /33m*h =1 : 33 . * * * * * * * другой способ  * * * * * * * Обозначаем  S(CNM) = S , MD = m .   ⇒ MC = 2*MD =2m  и  CD =MD + MC =m +2m =3m ,  AB =3*CD =3*3m=9m. Очевидно:   ΔANB  ~ ΔCNM  , причем  коэффициент подобия   k =AN/CN = AB/ CM =9m/2m =9/2 . Следовательно     S(ANB) / S(CNM) = k²  ⇒  S(ANB) =  (81/4)*S . S(ANM) / S(CNM) = AN / CN = 9/2 ⇒ S(AMN) =  (9/2) *S . S(BNC) = S(BCM) -  S(CNM)  = S(AMC) -S(CNM) =S(ANM)  = (9/2) *S . * * * т.е .   треугольники BNC и  ANM равновеликие  * * * S(AMC) = S(AMN) + S(CNM) = (9/2) *S +S =(11/2)*S . S(ADM) / S(AMC) =MD / MC =1/2 ⇒ S(ADM) =(1/2)*(11/2) =(11/4)*S. S(ABCD) =S(ADM) + S(AMCB)= S(ADM)+S(CNM) + S(ANB) +2*S(ANM) = (11/4)*S + S +(81/4)*S+ 9*S =(92/4)*S+10*S  = 33*S. S / S(ABCD) = 1 : 33.  ------------------- P.S.  можно было использовать S(ANM) *S(BCN) =S(CNM) * S(ANB) ⇔ S²(ANM)= 81S/4 *S;  S²(ANM) =9S/2  и   т. д .

Вариант решения. По условию МС=2DМ⇒ DC=DM+2 DM=3 ДМ Так как АВ=3 CD, то АВ=3•3DM=9DM Пусть КН - высота трапеции АВСD и равна h.  Тогда площадь трапеции равна 0,5•(CD+AB)•h=6 DM•h  ∆ MNC~∆ ANB - по равенству всех углов ( углы при N равны как вертикальные, а при основаниях - как накрестлежащие при параллельных прямых и секущих) МС:АВ=2DM:9DM=2/9 Отношение сходственных элементов подобных треугольников одинаково.⇒   КN:NH=2:9  h=KN+NH=2+9=11 (частей) KN=2h/11 Тогда S ∆ MNC=0,5•MC•2h/11=2DM•h/11 Отсюда S ∆ MNC:S ABCD=(2DM•h/11):6 DM•h=1/33