!!ДАЮ НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ ЗА ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ!!Шарик (радиус - r) скатывается по желобу (радиус - R). Желоб неподвижен, шарик скатывается без проскальзывания. Определить частоту колебаний (ω - ?). (Считается, что перв...

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию W = mgh. При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует: X0^2 + (R-h)^2 = R^2 Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2 Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h X0^2 = 2*R*h Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия: h = X0^2/2R Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид: W = m*g*X0^2/2R Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна: T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2 поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega. При этом максимальная линейная скорость шарика V0 = Omega*r, где r = радиус шарика => Omega = V0/r T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2 Если шарик совершает гармонические колебания по закону x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t) Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика. Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид: T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2). Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен I = (2/5)mr^2, то T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2 В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T. (7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем: (7/5)*omega^2 = g/R и окончательно omega^2 = (5/7)*(g/R) и omega = sqrt(5g/7R). Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi niu = sqrt(5g/7R)/2Pi Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g) Уф.