Делится ли число A=1010101...01(n едениц) на число B = 111111...1(n едениц?)

n=1 A=1 B=1 все гуд число А делится нацело на число В пусть дальше в рассуждениях n>1 (воспользуемся дальше в рассуждениях свойствами геометрической прогрессии --формулой суммы а также формулой разности квадратов выражений) A=1+100+100 00+1 00 00 00...+1 00 00 00 00(2n-2 нулей)= [latex]1*\frac{100^n-1}{100-1}=\frac{100^n-1}{99}=\frac{(10^2)^n-1}{99}=\\\\\frac{(10^n)^2-1^2}{99}=\frac{(10^n-1)(10^n+1)}{9*11}[/latex] B=1+10+100+1000+...+100000..00 (n-1 нулей)= [latex]1*\frac{10^n-1}{10-1}=\frac{10^n-1}{9}[/latex] отсюда видно, что [latex]A=\frac{10^n+1}{11}*B[/latex] а значит число А будет на число В НАЦЕЛО (!!!а так оно себе делится на число В --оно ведь не 0) если [latex]10^n+1[/latex] делится нацело на 11 Используя признак делимости на число 11: а именно, что число делится на 11 тогда и только тогда когда модуль разности между суммой цифр занимающих нечетные позиции и суммой цифр, занимающих четные позиции  делится нацело на 11 при четном числе n получаем что две единицы на нечетном месте и возможно нули на четных и нечетных позициях(но нули не влияют  при суммировании на итог суммы а+0=а) поэтому сумма на четных местах равна 2, на нечетных 0, модуль разности равен 2 , нацело на 11 не делится значит вариант четного числа n нас не устраивает при нечетном n получаем что одна единица на четном месте и одна на нечетном и возможно нули на четных и нечетных позициях, а значит сумма цифр на четных местах равна 1, на нечетных равна 1, модуль разности равен 0 и делится нацело на 11 значит нечетное число n нам подходит обьедияняя с тривиальным случаем n=1 получаем ответ: при любом нечетном натуральном n