Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите косинусы его острых углов

Пусть эти члены в порядке возрастания a,b,c. Тогда (по т.Пифагора) c^2=a^2+b^2 (т.к. геом.прогрессия) b^2 = ac   c^2=a^2 + ac   Делим обе части на c^2, получаем    1 = (a/c) + (a/c)^2   Обозначив a/c=t, получаем квадратное уравнение   t^2+t-1=0   Положительный корень этого уравнения равен [latex]t=\dfrac{\sqrt5-1}{2}=\dfrac ac[/latex]   Теперь заметим, что a/c=cos B (как обычно, угол B противолежит катету b). А cos A=sin B можно найти из основного тригонометрического тождества.   [latex]\cos A=\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{2}}[/latex]