Для изготовления цилиндрического бака (без верхней крышки) объёма V использовали материалы стоимостью C (на изготовление дна) и C (на изготовление боковой стенки) рублей за квадратный метр. Какими должны быть радиус основания и...

Пусть R - радиус основания, H - высота цилиндра. Тогда площадь основания найдем как πR², площадь боковой стенки как 2πRH. Поскольку квадратный метр материала на основание и на стенку равен одинаково C, то суммарная стоимость равна πR²C+2πRHC. Объем бака известен и равен V. Вычисляется по формуле V=πR²H. Из этой формулы выразим H=V/(πR²) и подставим в формулу суммарной стоимости. πR²C+2πRHC = πR²C+2πRС*V/(πR²) = πR²C+2CV/R В этом выражении варьируется только R, поэтому обозначим его как функцию от R: f(R) = πR²C+2CV/R Найдем производную f(R) для определения точки минимума функции f(R): f'(R) = 2πRC-2CV/R² = 2Cπ * (R³ - V/π) / R² Нули производной:  f'(R)=0 => R = ∛(V/π) Изобразим на прямой 0R промежутки убывания и возрастания функции f(R):   убывает         убывает                    возрастает          f(R) -------------- 0 -------------------- ∛(V/π) ----------------------> R        -                         -                                  +                f'(R) Значит, стоимость минимальна при R=∛(V/π) Найдем H, соответствующее R=∛(V/π): H=V/(πR²)=V/(π*(∛(V/π))²) = ∛(V/π)