Доказать, что для любых натуральных n число (3^6n+3^5n+1+3^4n+1+3^3n) делится на 8.

Пусть [latex]A_{n} \triangleq [/latex] "[latex]3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m \in Z[/latex]". [latex]A_{1}[/latex] верно, так как [latex]3^6 + 3^{5+1} + 3^{4+1} + 3^3 = 2*3^6 + 27*10 = 270 + 1458 = 1728 = 216*8[/latex]. Покажем, что [latex]A_{n}[/latex] => [latex]A_{n+1}[/latex]: [latex]x \triangleq 3^{n}[/latex]:[latex]A_{n} = [/latex]"[latex]x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 = 8m[/latex]" = "[latex](x^2+x)^{3} = 8m[/latex]". Так как [latex]x^{2}+x \in N[/latex], [latex]A_{n} = [/latex] "[latex](x^2+x)^{3} = (2p)^{3}, p \in N[/latex]" [latex]A_{n} = [/latex] "[latex]x^2+x = 2p, p \in N[/latex]" [latex]3^{6(n+1)} + 3^{5(n+1)+1} + 3^{4(n+1)+1} + 3^{3(n+1)} = 3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3}[/latex] [latex]3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3} = (3^{2}x^{2} + 3x)^{3} = 3^{3}(3x^{2}+x)^{3}[/latex] [latex](3x^{2}+x)^{3} = 8m + (27-1)x^6 + (9-1)*3x^{5}+(3-1)*3x^{4}[/latex] [latex](3x^{2}+x)^{3} = 8m + x^{4}(6+24x+26x^{2}) = 8m + x^4(2p*24 + 2x^2+6)[/latex] Тогда [latex]A_{n+1} = [/latex] "[latex]2x^2+6 = 8k, k \in Z[/latex]". [latex]A_{n+1} = [/latex] "[latex]2*3^{2n}+6 = 8k, k \in Z[/latex]". Докажем [latex]A_{n+1}[/latex]: Пусть [latex]B_{m} \triangleq 2*3^{2m}+6 = 8k, k \in Z[/latex] [latex]B_{1}[/latex] верно, так как [latex]2*3^{2}+6 = 24 = 8*3, 3 \in Z[/latex] Покажем, что из [latex]B_{m}[/latex] следует [latex]B_{m+1}[/latex]: [latex]B_{m+1}: 2*3^{2m+2}+6 = 2*3^{2m}*9 + 6 = 2*3^{2m} + 6 + 8*2*3^{2m}[/latex] [latex]= 8k + 8*2*3^{2m} = 8 * w, w \in N[/latex] Тогда [latex]B_{m} \Rightarrow B_{m+1}[/latex]: Таким образом, [latex]B_{m}[/latex] верно для всех натуральных m, следовательно  [latex]A_{n+1}[/latex] истинно. Тогда  [latex]A_{n} \Rightarrow A_{n+1}[/latex],  [latex]A_{n}[/latex] верно для всех натуральных n: [latex]3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m \in Z, \forall n \in N[/latex], ч. и т.д.