Доказать что при n≥1 число n^3+3n^2+5n делится на 3

чуток иначе через те же остатки: (используем свойство квадрат числа при делении на 3 дает остатки 0,1 , причем остаток 0 тогда и только тогда когда число кратное 3 - ну и остальные свойства суммы и произведения остатков) так как [latex]3n^2[/latex] делится на 3, нужно показать еще что [latex]n^3+5n[/latex] делится на 3 [latex]n^3+5n=n(n^2+5n)[/latex] если n делится на 3 то произведение делится на 3 и исходное выражение делится нацело на 3, если n нацело не делится, то [latex]n^2[/latex] при делении на 3 дает остаток 1, а значит [latex]n^2+5[/latex] дает остаток при делении на 3 - 0, а значит делится нацело таким образом либо n либо [latex]n^2+5[/latex] делится нацело на 3, произведение делится на 3, и исходное выражение делится нацело на 3 Доказано. второй способ. Методом математической индукции База индукции [latex]n=1[/latex]; [latex]1^3+3*1^2+5*1=1+3+5=9; 9:3=3[/latex] выполняется при [latex]n=1[/latex] Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при [latex]n=k[/latex] т.е. [latex]k^3+3k^2+5k[/latex] делится нацело на 3. Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при [latex]n=k+1[/latex] [latex]n^3+3n^2+5n=(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=\\\\k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5=(k^3+3k^2+5k)+3(3k+k^2+2)[/latex]  а значит кратное 3 (выражение в первой скобке кратное 3 в силу допущения, во второй один из множителей а именно множитель 3 кратный 3) Методом математической индукции доказано