Докажите, что для любого натурального числа n справедливо неравенство[latex] \frac{2}{(n+2)^2}\ \textless \ \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n+3} [/latex]

[latex]\frac{2}{(n+2)^2}=\frac{2}{n^2+4n+4}\\\\\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}=\frac{n+3-n-1}{(n+1)(n+3)}=\frac{2}{n^2+4n+3}\\\\n^2+4n+4\ \textgreater \ n^2+4n+3, \; t.k.\; \; \; (n^2+4n)+4\ \textgreater \ (n^2+4n)+3[/latex] Если числители дробей равны, то та дробь меньше, у которой знаменатель больше, поэтому [latex]\frac{2}{n^2+4n+4}\ \textless \ \frac{2}{n^2+4n+3}\; \; \Rightarrow \; \; \frac{2}{(n+2)^2}\ \textless \ \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}[/latex]