Докажите, что для любого натурального n разность n в 9 степени минус n в 5 степени кратна 30

[latex]n^9-n^5=n^9(n^4-1)=n^5(n^2-1)(n^2+1)=n^5(n-1)(n+1)(n^2+1)[/latex] при n=1: [latex]n^9-n^5=1^9-1^5=0[/latex] делится нацело на 30 среди трех последовательных натуральных чисел n-1, n, n+1 хотя бы одно кратно 2 и хотя бы одно кратно 3 если ни одно из чисел n-1, n, n+1 не кратно 5, то тогда число n при делении на 5 дает остаток 2, или -2 (иначе остаток +3) т.е. можно записать [latex]n=5k^+_-2[/latex] где k - целое тогда [latex]n^2+1=(5k^+_-2)^2+1=25k^+_-20k+4+1=25k^2^+_-20k+5=[/latex] [latex]=5(5k^2^+_-10k+1)[/latex]  кратное 5 т.е. либо одно из чисел n-1,n, n+1 кратно 5 либо n^2+1 кратно 5 таким образом данное выражение кратно 2, 3, 5 (2, 3, 5 взаимно простые каждые два между собой), а значит оно делится нацело на 2*3*5=30 таким образом мы доказали утверждение. Доказано