Докажите, что [latex] 3^{2 {n} } -1 [/latex] a) Делится на [latex] 2^{n+2} [/latex] b) не делится на [latex] 2^{n+3} [/latex]

Докажем утверждение по индукции. База индукции — при [latex]k=1[/latex] число [latex]3^2-1=8[/latex] делится на [latex]2^{1+2}=8[/latex], но не делится на [latex]2^{1+3}=16[/latex]. Теперь, зная, что при [latex]k=n[/latex] утверждение верно, покажем, что при [latex]k=n+1[/latex] оно также верно. Мы знаем, что число [latex]3^{2^n}-1[/latex] делится на [latex]2^{n+2}[/latex] и не делится на [latex]2^{n+3}[/latex].  Рассмотрим число [latex](3^{2^n}-1)^2=3^{2^{n+1}}-2*3^{2^n}+1[/latex]. Ясно, что оно делится на [latex]2^{2n+4}[/latex]. Прибавим к нему выражение [latex]2*(3^{2^n}-1)[/latex]: [latex](3^{2^{n+1}}-2*3^{2^n}+1)+2*(3^{2^n}-1)=3^{2^{n+1}}-1[/latex]. Нетрудно видеть, что полученное число делится на [latex]2^{n+3}[/latex], но не делится на [latex]2^{n+4}[/latex]. Первое слагаемое делится на [latex]2^{2n+6}[/latex], а потому и на [latex]2^{n+4}[/latex], а второе делится на [latex]2*2^{n+2}=2^{n+3}[/latex], но не делится на [latex]2*2^{n+3}=2^{n+4}[/latex]. Таким образом, индукционный переход завершен.