Докажите, что [latex]f'(x^p)=px^{p-1}[/latex]

Фиксируем [latex]x \in \mathbb{D}(f),[/latex] придадим приращение аргументу [latex]\Delta x[/latex]. Вычислим приращение функции: [latex]\Delta y=(x+\Delta x)^p-x^p[/latex] Или: [latex]\Delta y=x^p[(1+ \frac{ \Delta x}{x})^p-1][/latex] То очевидно: [latex](x^a)'=\lim_{\Delta x \to0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{x^p[(1+ \frac{ \Delta x}{x})^p-1]}{\Delta x} [/latex] Можно заменить на эквивалентную бесконечную малую: [latex](x^a)'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{p*x^p* \frac{\Delta x}{x} }{\Delta x} [/latex] Откуда следует: [latex]f'(x^p)=px^{p-1}[/latex]