Докажите что медиана треугольника меньше полусуммы сторон выходящих с ней из одной вершины

Пусть в ΔABC медиана A[latex] A_{1} [/latex]. Надо доказать, что [latex]A A_{1} [/latex]<[latex] \frac{AB+AC}{2} [/latex] Продолжим медиану [latex]A A_{1} [/latex] за [latex] A_{1} [/latex] и на продолжении отметим точку D так, чтобы [latex]A A_{1}= A_{1}D [/latex], тогда ABDC - параллелограмм. То есть [latex]BD=AC[/latex], к тому же [latex]AD=2A A_{1} [/latex]. В треугольнике ABD сторона меньше суммы двух других сторон, то есть [latex]AD\ \textless \ AB+BD[/latex] или  [latex]2A A_{1} \ \textless \ AB+AC[/latex]. Отсюда [latex]A A_{1} \ \textless \ \frac{AB+AC}{2} [/latex]