Докажите, что при любом нечетном натуральном n число n^12-n^8-n^4+1 делится на 512.

Положим что  [latex]n=2x+1\\\\ (2x+1)^{12}-(2x+1)^8-(2x+1)^4+1[/latex]  заменим  [latex](2x+1)^4=y\\\\ y^3-y^2-y+1=(y-1)(y^2-1)=((2x+1)^4-1)((2x+1)^8-1)=\\\\ 2x(2x+2)((2x+1)^2+1)((2x+1)^2-1)((2x+1)^2+1)((2x+1)^4+1)\\\\ 2x(2x+2)((2x+1)^2+1)(2x)(2x+2)((2x+1)^2+1)((2x+1)^4+1)=\\\\ 128x^2(x+1)^2(2x^2+2x+1)^2(8x^4+16x^3+12x^2+4x+1)[/latex]   так как [latex]512=2^9\\ 128=2^7[/latex]   то либо число [latex]x[/latex] будет четное либо [latex]x+1[/latex] ,и того [latex]2^2[/latex] , а это   в произведений [latex]2^7*2^2=2^9=512[/latex] следовательно число делиться на [latex]512[/latex]