Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьЕсли ни одно из чисел не делится на 3, и они последовательные, то мы можем их обозначить, как 3x+1 и 3x+2
(3x+1)³+(3x+2)³=(3x+1+3x+2)((3x+1)²-(3x+1)(3x+2)+(3x+2)²)=3(2x+1)(9x²+6x+1-9x²-3x-6x-2+9x²+12x+4)=3(2x+1)(9x²+9x+3)=9(2x+1)(3x²+3x+1)
Среди множителей есть 9 => число делится на 9 нацело
Гостьпервое число 3k + 1, второе 3k + 2 (два последовательных числа, не делящихся на 3 имеют остатки 1 и 2 при делении на 3 соответственно)
(3k+1)³ + (3k+2)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 27k³ + 54k² + 36k + 8 =
= 54k³ + 81k² + 45k + 9 = 9(6k³ + 9k² + 5k + 1)
очевидно делится на 9, для любого k ≥ 0
Не нашли ответ?
Похожие вопросы