Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон.

Обозначим за x,y смежные стороны. Проведём диагонали. Пусть ABCD - параллелограмм, O - точка пересечения диагоналей. Пусть AO=CO=a, BO=DO=b. Рассмотрим треугольники ABO и ADO. В них по теореме косинусов выразим x и y: x²=a²+b²-2abcosA y²=a²+b²+2abcosA, где cosA - угол между диагоналями. Косинусы смежных углов противоположны, cos(180-A)=-cosA. Тогда x²+y²=2(a²+b²).  Диагонали равны 2a и 2b, поэтому сумма квадратов диагоналей равна 4(a²+b²)=2(x²+y²), что и требовалось доказать.