Докажите что треугольник abc равнобедренный если у него медиана bd является биссектрисой

Дано: ∆ ABC, CK — медиана и биссектриса Доказать: ∆ ABC — равнобедренный. Проведем анализ задачи: На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников. В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая. Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем. В таком случае придется выполнять дополнительные построения. На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE. Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK. Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство. Доказательство: На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK. Рассмотрим треугольники AKE и BKC: 1) AK=BK (так как CK — медиана по условию) 2) KE=CK (по построению) 3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные). Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK. По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK. Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC. А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).