Докажите, что в десятичной записи числа 2 ^697 какая-то циф­ра встретится не менее 22 раз.

Для начало нужно узнать сколько цифр будет в данном числе , можно использовать метод оценки чисел , то есть ясно что к примеру [latex]10^5[/latex] в ней с единице 6 цифр , используем его  [latex]2^{697}=(2^{17})^{41}=(131072)^{41}>(100000)^{41}\\[/latex] а в числе [latex](10^5)^{41}=206[/latex] цифр то есть в нашем чисел более [latex]206[/latex] цифр .  Но так как наше число образованна произведением чисел [latex]2[/latex]  в ней вероятность попадания четных чисел большая .     Предположим что есть какая то цифра [latex]x[/latex] и ее периодичность в среднем  встречается в 4 раза то мы знаем что цифр в числе больше 206 , я проверил точно их 216 , это не важно , тогда 216/4=54 цифр . Снизим нашу вероятность 216/10=21,6 то есть уже 21. Но учитывая то что числа в четной степени важно заметить что числа к примеру 1,5,0,7  будут реже всех встречаться это видно из соображения разложение в степени двоек ,  так как если в числе число 0 превосходило всех то в них было произведение множителей вида [latex]2^n*5^k[/latex] . Далее оценим вероятность попадания 8 , [latex]2^3=8[/latex] то она может встречаться с вероятностью больше чем  4 других числа.  То есть из этого можно сделать вывод что уже 4 числа будет встречаться реже всех. А остальные 6 с большой вероятностью . А ранее мы оценили периодичность , объединяя ее получаем что в среднем хотя бы через каждые каких то определенных чисел будут встречаться Цифра с периодичностью  [latex]\frac{216}{10}[/latex]