Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан меньше периметра треугольника и больше 3/4 периметра

первое неравенство получается совсем просто. Оно вытекает из того, что медиана меньше полусуммы сторон между которыми он поведена ( доказывается так : достраиваем треугольник до параллелограмма, где эта удвоенная медиана - диагональ и факт вытекает из неравенства треугольника). Пишем эти неравенства для всех медиан. складываем их и получаем искомое утверждение. Второе неравенство  доказывается так . Пусть стороны треугольника а, в,с. Медианы м1 - проведена к а,м2 - к  в и м3 к с. Тогда, очевидно  ( м1+м2)*(2/3) больше в                              (м1+м3)*(2/3) больше а                              (м2+м3)*(2/3) больше с складывая , получим (4/3) *(м1+м2+м3) больше (а+в+с),  что и требуется.