Докажите эту формулу Sin x = 2 tg x/2 черта дроби 1+ tg ² x/2

Преобразуем правую часть. Вначале домножим числитель и знаменатель на квадрат косинуса x/2. Это выражение равно 0, только если не определен тангенс x/2, т.е. при x=πn, при всех остальных икс переход равносильный. Представляя tg как отношение синуса к косинусу, после сокращений в знаменателе по основному тригонометрическому тождеству получаем 1, а в числителе - удвоенное произведение синуса и косинуса x/2. По формуле синуса двойного угла это то же самое, что и синус икс, т.е. правая часть равна левой. [latex]\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}= \frac{2tg\frac{x}{2}*\cos^2\frac{x}{2}}{(1+tg^2\frac{x}{2})*\cos^2\frac{x}{2}}= \frac{2\sin\frac{x}{2}*\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x.[/latex]

[latex]\sin x=\frac{2tg\frac x2}{1+tg^2\frac x2}=2\frac{\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}}{1+\frac{\sin^2\frac x2}{\cos^2\frac x2}}=2\frac{\sin\frac x2\cdot\cos^2\frac x2}{\cos\frac x2\cdot(\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2)}=\\ =2\sin \frac x2\cos\frac x2=\sin x[/latex] но у нас неоднинаковые области определения [latex] \left \{ {{\frac x2\neq\frac\pi2+\pi n} \atop {1+tg^2\frac x2\neq0}} \right.\\ \forall x:\ tg^2\frac x2> o [/latex] то-есть жанное равенство справедливо при [latex]x\neq\pi+2\pi n,\ n\in Z;\\ [/latex] или по другому[latex]x\in\left(-\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right),\ \ n\in Z.[/latex] дело в том, что при [latex]x=\pi+2\pi n,\ n\in Z[/latex] тангенсы не существуют, о соответсвенно и правая часть равенства