Докажите,что для арифметических корней верно равенство[latex] \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } , a \geq 0, b\ \textgreater \ 0[/latex]

Первый способ При [latex]a \geq 0,\,\, b\ \textgreater \ 0[/latex] выполняется условие [latex] \dfrac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \geq 0[/latex]. Возведя в [latex]n[/latex] - ой степени, имеем:  [latex]\bigg( \dfrac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \bigg)^\big{n}= \dfrac{a}{b} [/latex] Второй способ. Сделаем замену. Пусть [latex] \sqrt[n]{ \dfrac{a}{b} } =x;\,\,\,\, \sqrt[n]{a} =y;\,\,\,\, \sqrt[n]{b} =z[/latex] Имеем [latex]ab=x^n;\,\,\,\,\,\,\, a=y^n;\,\,\,\,\, b=z^n[/latex] [latex]x^n= \dfrac{y^n}{z^n} = \bigg(\dfrac{y}{z} \bigg)^\big{n}[/latex] отсюда следует [latex]x= \dfrac{y}{z} [/latex]