Докажите,что для любых натуральных n, n^5+4n делится 5

n^5+4n=n(n^4+4)= n((n^4+4n^2+4)-4n^2)= n((n^2+2)^2-(2n)^2)= n(n^2+2-2n)(n^2+2+2n) Все натуральные (даже целые) числа можно представить в одном из 5 видов: 1) те, которые делятся на 5 (5, 10, 15, 20,..., а если говорить о целых, то и 0, - 5, -10,... - каждое пятое число такое) 2) те, которые на 1 больше тех, которые делятся на 5 (то есть дают остаток 1 при делении на 5 (6=5+1, 11=10+1,... а также 1=0+1, -4=-5+1, -9=-10+1,...- каждое пятое число такое) 3)  те, которые на 2 больше тех, которые делятся на 5 (7=5+2, 12=10+2,... ,2=0+2, -3=-5+2,...) 4)  те, которые на 3 больше тех, которые делятся на 5 (8=5+3,...,  3=0+3, -2=-5+3,...). Кстати, эти же числа описываются также как те,  которые на 2 меньше тех, которые делятся на 5 (3=5-2, 8=10-2, 13=15-2, ...) 5) те, которые на 4 больше тех, которые делятся на 5, они же те,  которые на 1 меньше тех, которые делятся на 5 (4=0+4=5-1,  9=5+4=10-1,...) Нужный результат докажем по отдельности для каждой ихз 5 категорий. 1) n=5k ⇒ первый множитель в разложении нашего выражения делится на 5 2) n=5k+1⇒ третья скобка n^2+2n+2=25k^2+10k+1+10k+2+2= 5(5k^2+4k+1) делится на 5 3) n=5k+2⇒третья скобка n^2+2n+2=25k^2+20k+4+10k+4+2=  5(5k^2+6k+2) делится на 5    4) n=5k+3⇒вторая скобка n^2-2n+2=25k^2+30k+9-10k-6+2=  5(5k^2+4k+1) делится на 5    5) n=5k+4⇒вторая скобка n^2-2n+2=25k^2+40k+16-10k-8+2=  5(5k^2+6k+2) делится на 5 Утверждение доказано. Кстати, числа были бы немного поменьше, если в 4-м и 5-м случаях числа представлять в виде n=5k-2 и т=5k-1. И еще. Утверждение можно было бы доказать методом математической индукции, но об этом как нибудь потом