Доклад на тему:,,Египетские дроби"

Одним из древнейших письменных документов человечества яв­ляется папирус Райнда датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чи­сел обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д. Папирус содержит математические задачи и таблицы пред­ставляющие дроби 2/(2п+ 1) со знаменателями от 5 до 331 в виде суммы дробей с числителем 1. Дроби с числителем единица мы будем называть египетскими дробями а разложение рационального числа в сумму попарно раз­личных египетских дробей — египетской суммой. Мы будем рас­сматривать только положительные рациональные числа. 1.1. а) Для каких натуральных N единицу можно представить в виде египетской суммы из N слагаемых? б) Существуют ли египетские разложения единицы в которых все знаменатели нечетны? 1.2. а) Докажите что любое положительное рациональное число т/п может быть представлено в виде египетской суммы. 6} Докажите что если т < п 2 то существует египетское разло­жение дроби т / п в котором не более 2 m - 1 слагаемых. в) Докажите что всякую дробь т/п < 1 можно разложить в сумму не более min(m log 2 тп ) различных египетских дробей. г) Докажите что всякую дробь т/п < 1 можно разложить в сум­му различных египетских дробей со знаменателями не превосходя­щими п 2. 1.3. Докажите что при каждом s уравнение  в натуральных числах имеет лишь конечное множество решений. 1.4. а) Докажите что для любого натурального п на интервале (0 1) существует рациональное число не представимое в виде египетской суммы с не более чем п слагаемыми. б) Пусть М n — множество рациональных чисел из интервала (0 1) представимых в виде суммы не более чем n египетских дробей (не обязательно различных). Докажите что при любом n множест­во М п нигде не плотно. Другими словами для любого n и любого промежутка (a b) (0 1) найдется такой интервал (с d)  (а b) в котором все рацио­нальные числа не представимы в виде суммы не более n египетских дробей. 1.5. а) Может ли сумма нескольких последовательных египетских дробей (знаменатели которых являются последовательными нату­ральными числами) быть целым числом? б) Тот же вопрос но знаменатели должны являться последова­тельными нечетными натуральными числами. в) Тот же вопрос но знаменатели должны образовывать произ­вольную арифметическую прогрессию. г) Докажите что равенство  возможно лишь при a = n + 1 m =1 1.6. Пусть f n — числа Фибоначчи. Докажите что при всех т п  1.7. Верно ли что для каждой правильной дроби вида  2  n 18 существует египетское разложение со знаменателями не превосходящими 95? Малые числители 1.8. Найдите египетское разложение сумму наименьшего числа слагаемых. 1.9. Докажите что представление числа  где n не делится на 3 в виде суммы двух египетских дробей возможно в том и только том случае когда n имеет делитель вида Зn + 2. 1.10. Пусть а n - число элементов множества  Докажите что для каждого  > 0 при достаточно больших n a n < n  . Открытая проблема (Erdos Straus). Уравнение