Доведіть, що вираз (10 у степені n+2) : 3 є натуральним числом при довільному натуральному n? ПЖПЖПж!!!!

перший спосіб методом мат. індукції база індукції: при n=1 твердження вірне так як [latex]10^{1}+2=12[/latex]кратне 3 гіпотеза індукції: Нехай при n=k твердження вірне тобто справделиво що [latex]10^k+2[/latex] кратне 3 індцукційний перехід. Доведемо тепер що при n=k+1твердження також вірне [latex]10^{k+1}+2=10*10^k+2=9*10^k+(10^k+2)[/latex] кратне 3, там як перший доданок кратний 3 (перший множник добутку 9 кратний 3), другий кратний у силу припущення індукції. За приниципом мат.ідукції твердження є вірним. ==================================== другий спосіб так як число [latex]10^n[/latex]=10000....0 (одна одиниця, n нулів, причому нуль остання цифра),то число [latex]10^n+2[/latex]=10000...0002(одна одиниця, n-1 нуль, одна 2) сума цифр числа 1+0+0+0+...+0+2=3 а отже за ознакою подільності на 3, дане число кратне 3при будьякому натуральному n =========== третій спосіб через залишки від ділення так як 10 при діленні на 3 дає залишок 1, то і 10 у степені n=10*10*10*...*10 (n раз) дасть залишок, який дає число 1*1*1*.....*1 (n раз)=1, тобто 1 (1 при діленні на 3дає залишок 1) а значить число [latex]10^n+2[/latex] дасть залишок такий же як дасть залишок від ділення суми залишків чисел 1 + 2 =3 , залишок 0 (так як 3 кратне 3), а значить задане число кратне 3 доведено =========== четвертий спосіб (можна вивести формулу 10^1+2=12=3*4 10^2+2=102=3*34 100^3+2=3*334 .... [latex]10^n+2[/latex]=3*3333...34 (n-1 трійка і 1 четвірка) або пятий спосіб так як [latex]10^n+2=999..99(n-1 раз) +1+2=9*111...1(n-1) раз+3