Две окружности радиусов 4 и 11 касаются внешним образом в точке Р. К ним проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная РК. (А и В - точки касания прямой АВ и окружностей, К лежит на АВ). Найдите: а) АВ, б) РК, в) ве...

Я пишу решение "вслепую", так что проверяйте потом. Пусть O1 - центр окружности радиуса 4 (на ней пусть лежит точка A); O2 - центр второй окружности. Тут кругом прямые углы. Логичнее начать с пункта в) Отрезки O1A и O2B оба перпендикулярны AB => O1A II O2B; => ∠AO1P + ∠BO2P = 180°; Это центральные углы дуг AP и BP; => ∠PAB + ∠PBA = 90°; => ∠APB = 90°; б) O1K - биссектриса ∠AKP; O2K = биссектриса ∠BKP; Половины этих углов в сумме составляют ∠O1KO2; то есть ∠O1KO2 = 90°; PK - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике O1KO2; и она делит гипотенузу на отрезки 4 и 11; поэтому PK^2 = 4*11 = 44; PK = 2√11 а) AB найти проще всего. Из O1 надо провести прямую перпендикулярно O2B (и параллельно AB); получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 + 11 =15; и катетом 11 - 4 = 7; откуда AB^2 = 15^2 - 7^2 = 11*16; AB = 4√11; PK = AB/2; что совсем не удивительно (я тут нарочно схитрил, чтобы подольше понабирать решение.) Дело в том, что PK - медиана в прямоугольном треугольнике APB, то есть PK = AB/2; сразу без всяких вычислений. Но зато ответ получен двумя разными способами. Можно выбирать, что считать и каким способом, PK или AB...