Если Вася даст Пете 6 монет то у них станет поровну если Петя даст Васе 9 монет то у Васи может стать k раз больше чем у Пети при каком наибольшем k это возможно

Среднеарифметическое двух чисел всегда меньше большого числа на столько же, насколько оно больше меньшего числа. Ну например для чисел [latex] 17 [/latex] и [latex] 25 [/latex] – среднеарифметическое равно     [latex] 21 = \frac{ 17 + 25 }{2} \ , [/latex]     и при этом [latex] 21 [/latex] на [latex] 4 [/latex] меньше двадцати пяти и на [latex] 4 [/latex] больше семнадцати. Когда Вася отдаёт Пете [latex] 6 [/latex] монет и у них становится поровну, то они как раз и приходят к среднеарифметическому их начальных количеств монет. В итоге у Васи оказывается на [latex] 6 [/latex] монет меньше изначального, а у Пети на [latex] 6 [/latex] монет больше изначального. А значит, вначале у Васи было на [latex] 12 = 6 + 6 [/latex] монет больше, чем у Пети. Путь у Васи вначале [latex] x [/latex] монет. Тогда у Пети [latex] x - 12 [/latex] монет. В первом случае всё как раз получается правильно: [latex] x - 6 = ( x - 12 ) + 6 \ ; [/latex] Во втором случае у Васи-II оказывается [latex] x + 9 [/latex] монет, а у Пети-II будет [latex] x - 12 - 9 [/latex] монет. При этом у Пети-II монет в [latex] K [/latex] раз меньше, т.е. если мы количество монет Пети-II мысленно увеличим в [latex] K [/latex] раз, то их станет столько же, сколько и у Васи-II. На этом основании составим уравнение: [latex] x + 9 = ( x - 12 - 9 ) K \ ; [/latex] [latex] x + 9 = ( x - 21 ) K \ ; [/latex] Далее это целочисленное уравнение можно решить двумя способами: [[[ 1-ый способ ]]] [latex] K = \frac{ x + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 21 + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 30 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 }{ x - 21 } + \frac{30}{ x - 21 } = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ; [/latex] [latex] K = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ; [/latex] Чтобы [latex] K [/latex] было целым, целой должен быть и результат деления в дроби, а чтобы [latex] K [/latex] было максимальным, частное от деления в дроби должно быть максимальным, а значит её знаменатель должен быть минимальным, целым, положительным числом, что возможно только, когда     [latex] x - 21 = 1 \ , [/latex]     откуда: [latex] x = 22 \ ; K = 31 \ ; [/latex] [[[ 2-ой способ ]]] [latex] x + 9 = K x - 21 K \ ; [/latex] [latex] 9 + 21 K = ( K - 1 ) x \ ; [/latex] [latex] x = \frac{ 9 + 21 K }{ K - 1 } = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 + 1 ) }{ K - 1 } \ = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 ) + 21 }{ K - 1 } = \frac{ 30 + 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \\\\ = \frac{30}{ K - 1 } + \frac{ 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ; [/latex] [latex] x = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ; [/latex] Чтобы [latex] x [/latex] было целым, целой должен быть и результат деления в дроби. А максимальное значение знаменателя в такой дроби (при том, что частное от деления остаётся целым) составляет [latex] K - 1 = 30 \ , [/latex] откуда: [latex] K = 31 \ ; x = 22 \ ; [/latex] О т в е т : [latex] K = 31 \ . [/latex]