Факториалом натурального числа n называется число n! = 1 · 2 · . . . · n. Какой из ста множителей нужно зачеркнуть в произведении 1! · 2! · 3! · . . . · 99! · 100! так, чтобы произведение оставшихся оказалось квадратом целого ч...

Пусть A=1!*2!*3!*...*99!*100!, тогда разобьем множители по парам вот так A = (1!*2!)*(3!*4!)*....*(99!*100!), далее произведем некоторые действия: т.к. 2! = 1!*2,  4! = 3!*4, 6! = 5!*6, ... 100! = 99!*100, то имеем A = (1!*1!*2)*(3!*3!*4)*(5!*5!*6)*...*(97!*97!*98)*(99!*99!*100) =  =(2)*( (3!)^2 *4)*( (5!)^2*6)*...*( (97!)^2 *98)*( (99!)^2 *100)= = (3!*5!*7!*...*97!*99!)^2 *( 2*4*6*8*...*98*100)= = (3!*5!*7!*...*97!*99!)^2*( 2^50)*(1*2*3*4*...*49*50) =  = (3!*5!*7!*...*97!*99!)^2*(2^50)*50! = A. Зачеркнуть множитель в данном в условии произведении - значит разделить произведение на этот множитель. Среди множителей в А есть очевидно и множитель = 50!, но у нас A/50! = (3!*5!*7!*...*97!*99!)^2*(2^50) = (3!*5!*7!*...*97!*99!*(2^25) )^2, очевидно, что последнее есть квадрат целого числа. Ответ. 50!.