+∞ ∑ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} } n=1 исследовать сходимость ряда,в случае сходимости найти его сумму,пожалуйста помоги ни на кого надежды нет больше

исследовать сходимость ряда Σ[latex] \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}[/latex], в случае сходимости найти его сумму. Решение: Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного   Σ[latex] \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= \frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ \frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=\frac{1}{4^{n} }+ \frac{1}{(-3)^{n} }[/latex] Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши. Если [latex] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\ \textless \ 1 [/latex], то числовой ряд сходится. Положительный ряд [latex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} }= \frac{1}{4} \ \textless \ 1[/latex] Следовательно первый ряд сходится Второй ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные. Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд. Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду. [latex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3^n} }= \frac{1}{3} \ \textless \ 1[/latex] Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда. Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов или исходного ряда.  Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию. [latex]S = \frac{b_1}{1-q} [/latex] Для первого ряда [latex]S = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{3}[/latex] Для второго ряда [latex]S = \frac{ \frac{-1}{3} }{1- \frac{1}{3} }= -\frac{1}{4}[/latex] Находим сумму исходного ряда [latex]S= \frac{1}{3}- \frac{1}{4} = \frac{1}{12} [/latex]