F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .

[latex]f(x)=x^4-2x^2-8[/latex] 1. Область определения - все действительные числа: [latex]x\in R[/latex] 2. Исследование функции на четность: [latex]f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-8=x^4-2x^2-8=f(x)[/latex] - функция четная 3. Точки пересечения с осями координат: [latex]x^4 - 2x^2 - 8=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-8)=1+8=9 \\\ x^2=1+3=4; \ x=\pm2 \\\ x^2 \neq 1-3=-2\ \textless \ 0[/latex] Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0) [latex]f(0)=0^4-2\cdot0^2-8=-8[/latex] Точка пересечения с осью y: (0; -8) 4. Исследование функции на монотонность и экстремумы: [latex]f'(x)=4x^3-4x \\\ f'(x)=0: \\\ 4x^3-4x=0 \\\ 4x(x^2-1)=0 \\\ 4x(x-1)(x+1)=0[/latex] Точка минимума [latex]x_{\min}=-1[/latex]; минимум [latex]y_{\min}=(-1)^4-2\cdot(-1)^2-8=1-2-8=-9[/latex] Точка максимума [latex]x_{\max}=0[/latex]; максимум: [latex]y_{\max}=-8[/latex] Точка минимума [latex]x_{\min}=1[/latex]; минимум [latex]y_{\min}=1^4-2\cdot1^2-8=1-2-8=-9[/latex] При [latex]x\in(-\infty;-1]\cup[0;1][/latex] функция убывает При [latex]x\in [-1;0]\cup[1;+\infty)[/latex] функция возрастает 5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость: [latex]f''(x)=12x^2-4 \\\ f''(x)=0: \\\ 12x^2-4=0 \\\ 3x^2-1=0 \\\ x^2= \frac{1}{3} \\\ x=\pm \frac{ \sqrt{3} }{3} [/latex] Точки перегиба: [latex]x=- \frac{ \sqrt{3} }{3} [/latex] и [latex]x= \frac{ \sqrt{3} }{3} [/latex] Ординаты этих точек: [latex]y=( \frac{1}{3} )^2-2\cdot \frac{1}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{2}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{6}{9} -8=- \frac{5}{9} -8=-8 \frac{5}{9} [/latex] При [latex]x\in(-\infty; -\frac{ \sqrt{3} }{3}]\cup[\frac{ \sqrt{3} }{3};+\infty)[/latex] функция выпукла При [latex]x\in [- \frac{ \sqrt{3} }{3}; \frac{ \sqrt{3} }{3}][/latex] функция вогнута 6. Построение графика: Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); [latex](- \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})[/latex]; [latex]( \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})[/latex] Просчитаем еще две точки: [latex]f(- \frac{3}{2} )=f( \frac{3}{2} )=( \frac{3}{2} )^4-2\cdot ( \frac{3}{2} )^2-8= \frac{81}{16} -2\cdot \frac{9}{4} -8= \\\ = \frac{81}{16} - \frac{18}{4} -8=\frac{81}{16} - \frac{72}{16} - \frac{128}{16} = - \frac{119}{16} =-7 \frac{7}{16} [/latex] Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная