Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 дм. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

Пусть один катет х, другой у 16²=х²+у²      ⇒  y  =√256-x² [latex]S(x)= \frac{xy}{2}= \frac{x\cdot \sqrt{256- x^{2} } }{2}[/latex] Исследуем функцию S(x) на экстремум. Находим производную: [latex]S`(x)= ( \frac{x\cdot \sqrt{256- x^{2} } }{2})`= \frac{1}{2}(x` \sqrt{256- x^{2} }+x( \sqrt{256- x^{2} })`) \\ = \frac{1}{2}( \sqrt{256- x^{2} }+x\cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{256- x^{2} } } )= \frac{1}{2}( \frac{256- x^{2} -x^{2}}{ \sqrt{256- x^{2} } } )[/latex] S`(x)=0 256-2x²=0 2x²-256=0 x²=128 x=√128 x=8√2 y=√(256-128)=√128=8√2 Ответ.Площадь будет принимать наибольшее значение, если треугольник прямоугольный, равнобедренный и катеты равны 8√2.