Гипотенуза Прямоугольного треугольника равна 17 см а радиус вписанной окружности этого треугольника равен трём найдите периметр этого треугольника

Воспользуемся формулой радиуса окружности, вписанной в прямоугольный тр-к: r=(a+b-c)/2; 2r=a+b-c. Прибавим к обеим частям равенства 2с: 2r+2c=a+b+c; P=2r+2c=2*3+2*17=40(cм).

Пусть у нас будет треугольник ABC с гипотенузой BC, O - центр вписанной окружности. Проведем радиусы OM и ON к боковым сторонам AB и AC соответственно. Получим четырехугольник с равными смежными сторонами, т.е. - это квадрат. Отрезки касательных равны, т.е. AN=AM=3 см; CN=CF=х см; BM=BF=y. Длина гипотенузы = x+y=17 см. Значит, х=17-y Длины сторон можно связать по теореме Пифагора: AB^2+AC^2=BC^2 (17+3-x)^2+(x+3)^2=17^2 400-40y+x^2+x^2+6y+9=289 2y^2-34x+120=0 y^2-17x+60=0 По теореме Виета найдем корни этого квадратного уравнения: x1+x2=17 x1*x2=60 x1=12; x2=5 - это и есть длины обоих неизвестных касательных, т.к. числа эти взаимозаменяемы. Т.е. дины катетов = 3+12=15 (см) - первый; 3+5=8 (см) - второй, следовательно, P = 17+15+8=40 (см) Ответ: 40 см.