График функции y=(x^2+8x+16)/(x+3) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

Находим производную заданной функции y=(x²+8x+16)/(x+3). [latex]( \frac{x^2+8x+16}{x+3})dx= \frac{(x^2+8x+16)'*(x+3)+(x^2+8x+16)*(x+3)'}{(x+3)^2} = [/latex][latex] \frac{(2x+8)(x+3)+(x^2+8x+16)*1}{(x+3)^2} = \frac{x^2+6x+8}{(x+3)^2}. [/latex] Приравняем её нулю, для чего достаточно приравнять нулю числитель. х²+6х+8 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x₂=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4. Получили 2 критические точки: х=-2 и х=-4. Находим значения производной вблизи критических точек. х =      -5    -4    -3.5      -2.5     -2       -1 y' =   -1.5    0      1.5       -1.5     0       1.5. Учитываем, что функция имеет разрыв в точке х = -3. На промежутках (-∞;-4) и (-2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, на промежутках (-4;-3) и (-3;-2), где производная отрицательна - там функция убывает. Точки экстремума и экстремумы функции определяем по свойству производной. Когда в критической точке производная меняет знак с + на - там максимум функции, где с - на + там минимум. Точка максимума: х = -4, у = (16-32+16)/(-4+3) = 0. Точка минимума: х = -2, у = (4-16+16)/(-2+3) = 4.