Имеет ли вещественное решение: [latex] \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}+ \frac{x^3}{y^3}+ \frac{y^3}{x^3}=0 [/latex]

[latex]\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} + \dfrac{x^3}{y^3} + \dfrac{y^3}{x^3} = \dfrac{x^4y^2+x^2y^4+yx^5+xy^5+x^6+y^6}{x^3y^3} = \\ \\ =\dfrac{x^4(x^2+xy+y^2)+y^4(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=\dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}[/latex] [latex]\dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=0 \Rightarrow \begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & x^3y^3\neq 0 \end{cases} [/latex][latex]\Rightarrow \begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & x\neq 0 \\ & y\neq 0 \end{cases}[/latex][latex]\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ x^2+xy+y^2=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}[/latex] [latex]\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ x^2+2\cdot x \cdot \frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}[/latex][latex]\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}[/latex] Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое из слагаемых. Значит, для первого уравнения: ([latex]x^4=0[/latex] и [latex]y^4=0[/latex])[latex]\Rightarrow[/latex]([latex]x=0[/latex] и [latex]y=0[/latex]). Но [latex]x=0[/latex] и [latex]y=0[/latex] корнями быть не могут по условию системы (ненулевой знаменатель). Для второго уравнения: ([latex]\left(x+\frac{y}{2} \right)^2=0[/latex] и [latex]\frac{3y^2}{4}=0[/latex]). Корень последнего уравнения равен [latex]y=0[/latex], что опять же не может быть по условию системы. А это означает, что у уравнения [latex]\left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0[/latex] из нашей системы корней нет. Получается, у совокупности [latex]\left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right.[/latex] действительных решений нет. Соответственно, и у исходного уравнения нет действительных решений (только комплексные).