Имеется пружина с аномальной жесткостью так что смещается сила F пропорциальна кубу смещается x: F=-kx^3, причем k=1MH/м^3. На такую пружину подвешен груз массой 1кг .Определите период малых колебаний груза относительно положен...

Ну попробуем! Итак, запишем второй закон Ньютона для такой системы (ось направим вниз) [latex]ma = mg-kx^3\\ mx'' = mg-kx^3[/latex] Пусть x = q+x0, где x0 = коренькубический(mg/k) и это константа, тогда [latex]m(q+x_0)'' = mg-k(q+x_0)^3\\ q'' = mg-mg - 3kx_0&^2q-3kx_0q^2-kq^3\\ mq''+3kx_0^2q = -3kx_0q^2-kq^3[/latex] Итак, для величины q, которая есть отклонение от положения равновесия мы получили ангармоническое уравнение колебаний. Вот теперь мы скажем, что если q мало, то можно пренебречь его старшими степенями в правой части уравнения. Тогда все становится просто [latex]q''+\frac{3kx_0^2}{m}q = 0[/latex] Это обычное уравнение гармонических колебаний, множитель перед q - это квадрат угловой частоты, ну а период найдем элементарно (не забыв подставить x0) [latex]\omega = \sqrt{\frac{3kx_0^2}{m}} = \\\\\sqrt{\frac{3k}{m}(\frac{mg}{k})^{2/3}} = \sqrt{3\sqrt[3]{\frac{{g^2k}}{m}}} = \sqrt[6]{\frac{27kg^2}{m}}[/latex] [latex]T = 2\pi\sqrt[6]{\frac{m}{27kg^2}}[/latex]