Используя метод математической индукции, докажите, что

----------------------------------------------------------------- (РЕШЕНИЕ) База индукции При [latex]n=1[/latex] утверждение верно.  [latex]1 \leq 2-\frac{1}{1}[/latex] Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при [latex]n=k[/latex] т.е. справедливо неравенство [latex]1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+..+\frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{k}[/latex] Индукционный переход Докажем что тогда справедливо неравенство при [latex]n=k+1[/latex] т.е. что тогда справедливо неравенство [latex]1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac {1}{k+1}[/latex] или используя предположение нужно доказать что [latex]2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k+1}[/latex] или [latex]\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{k}[/latex] или что [latex]\frac{1+k+1}{(k+1)^2 }\leq \frac{1}{k}[/latex] [latex]\frac{k+2}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k}[/latex] так как обе части неотрицательны, то равносильно [latex](k+2)k \leq (k+1)^2[/latex] [latex]k^2+2k \leq k^2+2k+1[/latex] [latex] 0 \leq 1[/latex] что очевидно верно таким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано. ---------------- (более логичное решение) неравенство равносильно неравенству [latex]\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq 1 - \frac{1}{n}[/latex] заметим что при n є N, [latex]n \geq 1[/latex] [latex]\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)}[/latex] поєтому [latex]\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=[/latex] [latex]\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...+\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=[/latex] [latex]\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+...+\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=[/latex] [latex]1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}[/latex] т.е. нужно получили требуемое