Исследовать экстремумы на функции 1.y=x^3-6x^2 2.y=x^4-4x^3 3.y=x^3/3+x^2-3x+5 4.y=2x^3-9x^2-60x+1 5.y=x^4+2x^2+1

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции.  Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. А теперь решение: 1)  [latex]\displaystyle y=x^3-6x^2[/latex] необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль.  Найдем производную [latex]\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x[/latex] приравняем ее к нулю [latex]\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4[/latex]  у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума) - Точка  x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений  данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)  - Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений  данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀) Как это выглядит на решении? нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:    +           -                  + ------- 0 ------------ 4 ----------- Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает  на промежутке (0;4) - убывает на промежутке (4;+оо) - возрастает Значит х=0 точка максимума значит х=4 точка минимума Значение функции в точке х=0 [latex]\displaystyle y(0)=0[/latex] - максимальное значение значение функции в точке х=4 [latex]\displaystyle y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32[/latex] -минимальное значение Далее решает по аналогии 2)  [latex]\displaystyle y=x^4-4x^3[/latex] найдем точки экстремума [latex]\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2[/latex] [latex]\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3[/latex]   +          -               + ----- 0 --------- 3 ------------  на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает на промежутке (0;3) убывает х=0 точка максимума [latex]\displaystyle y(0)=0[/latex] максимальное значение функции х=3 точка минимума [latex]\displaystyle y(3)=3^4-4*3^3=81-108=-27[/latex] минимальное значение функции 3)  [latex]\displaystyle y= \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5 [/latex] [latex]\displaystyle y`=( \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3 [/latex] [latex]\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3[/latex]    +              -               + ------  - 3  -------  1 ---------- на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает на промежутке (-3;1) убывает х= -3 точка максимума [latex]\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14 [/latex] минимальное значение x=1 точка минимума [latex]\displaystyle y(1)= \frac{1}{3}+1-3+5= 3 \frac{1}{3} [/latex] минимальное значение 4)  [latex]\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1[/latex] [latex]\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60[/latex] [latex]\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5[/latex]     +              -          + ------- - 2 -------- 5 -------- на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает на промежутке (-2;5) убывает точка х=-2 точка максимума [latex]\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69[/latex] максимальное значение точка х=5 точка минимума [latex]\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274[/latex] минимальное значение 5) [latex]\displaystyle y=x^4+2x^2+1[/latex] [latex]\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x[/latex] [latex]\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0[/latex]        -                       + -------------- 0 ---------------- на промежутке (-оо;0) убывает на промежутке (0;+оо) возрастает x=0 точка минимума [latex]\displaystyle y(0)=1[/latex] минимальное значение функции