Исследовать функцию и построить график 4x/4+x^2

Исследуем функцию y=4x4+x2 и построим ее график.  1. Область определения.  Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. 4+x2≠0=>.  Область определенияDf=(−∞;+∞) 2. Точки разрыва функции и их классификация. Функция не имеет точек разрыва т.к. область определения x∈R. 3. Четность функции. Проверяем на четность f(−x)=4(−x)4+(−x)2=−4x4+x2=−f(x) функция является нечетной, т.е. симметричной относительно точки начала координат O(0;0), поэтому далее будем исследовать график функции на интервале (0;+∞), а график на интервале (−∞;0) получим путем симметричного переноса относительноточки начала координат. 4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции. Нули функции (точка пересечения с осью Ox):  приравняем y=0, получим 4x4+x2=0=>x=0. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами (0;0) Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале (0;+∞) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x=0 , т.е. один интервал знакопостоянства Определим знак функции на этом интервале интервал (0;+∞) найдем значение функции в любой точке f(2)=4x4+x2>0, на этом интервале функция положительная f(x)>0, т.е. находится выше оси Ox. 5. Точки пересечения с осью Oy:приравняем x=0, получим y=4∗04+02=0 , т.е кривая пересекает ось Oy в точке с координатами (0;0) 6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции. Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулюy′=(4x4+x2)′=4(4+x2)−x∗2x(4+x2)2приравняем к 044−x2(4+x2)2=0=>x1,2=±2функция имеет две критические (стационарные) точки с координатами (−2;−1),(2;1) Интервалы монотонности. Функция имеет две критические точки на интервале области определения (−∞;+∞),т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах с учетом симмерии относительно начала координат, т.е. на интервале (0;+∞): интервал (0;2) найдем значение первой производной в любой точке интервала f′(1)=8−2x2(4+x2)2>0, на этом интервале функция возрастает. интервал (2;+∞) найдем значение первой производной в любой точке интервала f′(3)=8−2x2(4+x2)2<0, на этом интервале функция убывает. Экстремумы функции. При исследовании функции получили на исследуемом интервале(0;+∞)одну критическую (стационарную) точку. Определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку: точка x=2 производная меняет знак с +0− - точка максимума, а координаты точки максимума (2;1). 7.Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулюy′′=(44−x2(4+x2)2)′=4−2x(4+x2)2−(4−x2)∗2(4+x2)∗2x(4+x2)4==−42x(4+x2)+(4−x2)∗4x(4+x2)3=8xx2−12(4+x2)3Приравняем к нулю8xx2−12(4+x2)3=0=>8x(x2−12)=0=>x1=0;x2,3=±23√Функция имеет три точи перегиба, которые делят область определения на четыре интервала выпуклости, а рассмативаемый интервал(0;+∞) на два интервала выпуклости: 1) интервал (0;23√) найдем значение второй производной в любой точке f′′(1)=8xx2−12(4+x2)3<0, на этом интервале вторая производная функции отрицательная f′′(x)<0 - функция выпуклая вверх (вогнутая). 2) интервал (23√;+∞) найдем значение второй производной в любой точке f′′(10)=8xx2−12(4+x2)3>0, на этом интервале вторая производная функции положительная f′′(x)>0 - функция выпуклая вниз (выпуклая). Т.к. функция является симметричной относительго начала координат и эта точка является точкой перегиба, кбедимся в этом в следующем пункте, а для этого найдем выпуклость на интегвале  интервал (−23√;0) найдем значение второй производной в любой точке f′′(−1)=8xx2−12(4+x2)3>0, на этом интервале вторая производная функции положительная f′′(x)>0 - функция выпуклая вниз (выпуклая). Точки перегиба. В точке x=0 вторая производная меняет знак с +0−, график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами (0;0). В точке x=23√ вторая производная меняет знак с −0+, график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами (23√;3√2). 8. Асимптоты. Вертикальная асимптота.График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. область определения функции x∈R. Наклонная асимптота. Для того, чтобы график функции у=4x4+x2 при x→∞ имел наклонную асимптота y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два пределаlimx→+∞=f(x)x=kнаходим первый предел  limx→+∞4x(4+x2)x =0=>k=0и второй пределlimx→+∞(f(x)−kx)=bт.к. k=0 - наклонной асимптоты нет. Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал пределlimx→∞f(x)=bнайдем егоlimx→∞4x4+x2 =0 Горизонтальной асимптота y=0 Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте  limx→+∞(0−4x4+x2)=−0График функции приближается к асимптоте сверху при x→+∞ limx→−∞(0−4x4+x2)=+0График функции приближается к асимптоте снизу при x→−∞  9. График функции. При построении графика учтем его нечетность, т.е. симметричность относительно начала координат