Исследовать функцию y=x*(x-1)^2 на монотонность.

  [latex]y = x(x-1)^2\\\\ y' = (x(x-1)^2)' = (x)'(x-1)^2 + x((x-1)^2)' =\\ (x-1)^2 + x(2(x-1)) = x^2-2x+1+2x^2-2x =\\3x^2-4x+1\\\\3x^2-4x+1 = 0\\\\ x_1x_2 = \frac{1}{3}\\ x_1+x_2 = \frac{4}{3}\\\\ x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}[/latex]   [latex]3x^2-4x+1 > 0,[/latex]  [latex] x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (1, +\infty)[/latex]   [latex]3x^2-4x+1 < 0,[/latex]  [latex] x \in (\frac{1}{3},1)[/latex]   Функция не является монотонной, так как существуют промежутки, когда она убывает и существуют промежутки, когда она возрастает.   [latex]y = x(x-1)^2[/latex] возрастает при [latex] x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (1, +\infty)[/latex]   [latex]y = x(x-1)^2[/latex] убывает при [latex] x \in (\frac{1}{3},1)[/latex]

Во вложении ----------------------------------------------------------