Исслeдyйтe фyhкции no 5 пyнктaм а)[latex]y= \sqrt{ x^{2} +a} , a больше 0[/latex] б)[latex]y= \sqrt{ x^{2} - a} , a больше 0[/latex] 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции. 2) Асимптот...

[latex]y= \sqrt{x^2+a} ,\ a>0[/latex] 1) Область определения функции - все действительные числа, так как при а>0 под корнем находится положительное число, следовательно из него можно извлечь квадратный корень. График функции непрерывен на всей области определения. Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода. 2) [latex]k_1= \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+a} }{ \sqrt{x^2} } =\lim_{x \to \infty} \sqrt{1+ \frac{a}{x^2} } =1 \\\ b_1=\lim_{x \to \infty} (y-k_1x)=\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x^2+a} -x)= \\\ =\lim_{x \to \infty} \frac{( \sqrt{x^2+a} -x)( \sqrt{x^2+a} +x)}{ \sqrt{x^2+a} +x} = \lim_{x \to \infty} \frac{a}{ \sqrt{x^2+a} +x} =0[/latex] Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная 3) [latex] \sqrt{x^2+a} =0 \\\ x^2+a =0[/latex] При а>0 это уравнение не имеет решений, значит нулей у функции нет. Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция на всей области определения положительна. 4) [latex]y'=( \sqrt{x^2+a} )'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2+a}} \cdot 2x =\frac{x}{ \sqrt{x^2+a}} [/latex] Производная равна нулю только в точке х=0 - это точка минимума, так как производная меняет свой знак с "-" на "+". Следовательно, при х<0, то есть при отрицательной производной, функция убывает, при х>0 - возрастает, так как производная больше нуля. Минимум функции находим как значение самой функции в точке минимума: [latex]y_{min}=y(x_{min})=y(0)= \sqrt{0^2+a} =\sqrt{a}[/latex] 5) [latex]y''=( \sqrt{x^2+a} )''=(\frac{x}{ \sqrt{x^2+a}} )'=\frac{x'\sqrt{x^2+a}-x(\sqrt{x^2+a})'}{x^2+a} = \\\ =\frac{\sqrt{x^2+a}- \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+a}} }{x^2+a} = \frac{x^2+a-x^2} {(x^2+a)\sqrt{x^2+a}} =\frac{a} {(x^2+a)\sqrt{x^2+a}} [/latex] Вторая производная при любых а>0 и х положительна, значит функция на всей области определения вогнута и у нее нет точек перегиба. [latex]y= \sqrt{x^2-a} ,\ a>0[/latex] 1) [latex]x^2-a \geq 0 \\\ (x- \sqrt{a} )(x+ \sqrt{a} ) \geq 0 \\\ x\in(-\infty; \sqrt{a} ]\cup[\sqrt{a};+\infty)[/latex] Функция не является непрерывной, так как она не она не определена при [latex]x\in(- \sqrt{a}; \sqrt{a} )[/latex]. Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода. 2) [latex]k_1= \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2-a} }{ \sqrt{x^2} } =\lim_{x \to \infty} \sqrt{1- \frac{a}{x^2} } =1 \\\ b_1=\lim_{x \to \infty} (y-k_1x)=\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x^2-a} -x)= \\\ =\lim_{x \to \infty} \frac{( \sqrt{x^2-a} -x)( \sqrt{x^2-a} +x)}{ \sqrt{x^2-a} +x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-a}{ \sqrt{x^2-a} +x} =0[/latex] Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная 3) Нули функции: [latex] \sqrt{x^2-a} =0 \\\ x^2-a =0 \\\ x^2=a \\\ x=\pm a[/latex] Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция в остальных точках области определения, то есть при [latex]x\in(-\infty; \sqrt{a} )\cup(\sqrt{a};+\infty)[/latex] положительна. 4) [latex]y'=( \sqrt{x^2-a} )'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2-a}} \cdot 2x =\frac{x}{ \sqrt{x^2-a}}[/latex] Производная равна нулю только в точке х=0, однако эта точка попадает в область определения функции только при а=0. В общем случае, при [latex]x< \sqrt{a} [/latex], то есть при отрицательной производной, функция убывает, при [latex]x> \sqrt{a} [/latex] - возрастает, так как производная больше нуля. Точки минимума совпадают с нулями функции и соответственно сами минимумы равны нулю. 5) [latex]y''=( \sqrt{x^2-a} )''=(\frac{x}{ \sqrt{x^2-a}} )'=\frac{x'\sqrt{x^2-a}-x(\sqrt{x^2-a})'}{x^2-a} = \\\ =\frac{\sqrt{x^2-a}- \frac{x^2}{ \sqrt{x^2-a}} }{x^2-a} = \frac{x^2-a-x^2} {(x^2-a)\sqrt{x^2-a}} =\frac{-a} {(x^2-a)\sqrt{x^2-a}} [/latex] Вторая производная при любых а>0 и х отрицательна, значит функция на всей области определения выпукла (в знаменателе стоит выражение, которое в соответствии с областью определения не может быть отрицательным числом), точек перегиба у функции нет.