Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры ,найдите катет треугольника если периметр полученного четырехугольника равен 12 см 

А что мешает считать, что точка эта - один из концов гипотенузы? Тогда периметр "четырехугольника" равен а + 0  + а + 0 = 12, где а - катет.  Ответ а = 6.   Если точка выбрана произвольно, то периметр х + (а - х) + х + (а - х), где х - расстояние от точки до какого-то катета. Это потому, что перпендикуляры из точки на катеты "отсекают" от треугольника тоже равнобедренные прямоугольные треугольники - с катетами х и а - х (х отсчитывается от конца гипотенузы, при х = 0 как раз получается то, что я написала вначале) Поэтому х + (а - х) + х + (а - х) = 2a = 12 при любом выборе точки.